Media aritmética

La media aritmética es la suma de todos los datos dividida entre el número total de datos. Se calculan dependiendo de cómo vengan ordenados los datos.

EJEMPLO

¿Cuál es la media de las edades de Andrea y sus primos?

Así, la media de las edades de Andrea y sus amigos:

$Media =\frac{3+5+6+8+9+9+9}{7}=\frac{49}{7}=7$

La media de edad es de 7 años.

La media aritmética de un grupo de datos se calcula así: Se debe multiplicar cada dato con su respectiva frecuencia, sumar todos estos productos, y el resultado dividirlo por la suma de los datos.

Moda

La moda de un conjunto de datos es el dato que más veces se repite, es decir, aquel que tiene mayor frecuencia absoluta. Se denota por Mo. En caso de existir dos valores de la variable que tengan la mayor frecuencia absoluta, habría dos modas. Si no se repite ningún valor, no existe moda.

NOTA: En el caso anterior la respuesta seria 9 años ya que es el valor que mas se repite.

MEDIANA

Es la principal medida de tendencia central. La media se calcula sumando todos los datos y luego dividiendo este resultado por el número total de datos que tiene la muestra.

Ejemplo

Las notas obtenidas por un alumno de  sexto básico en matemática son las siguientes:

• Una desventaja de la media es que se ve influenciada por los valores extremos.

• Dentro de las ventajas de le media es que es un valor comprendido entre los extremos de la distribución.

• La media no tiene por qué ser igual a uno de los valores de los datos.

ACTIVIDAD

Preguntas

1. Mueve los puntos para que tomen los siguientes valores: 6, 5, 1, 9 y 8. ¿Cuál es la media aritmética? ¿Y la mediana?
2. Cambia ahora algunos valores pero de modo que la media aritmética no varíe. Escribe la solución que obtienes. ¿Puedes encontrar otras soluciones? En caso afirmativo, encuentra dos o tres más.
3. Escribe ahora una distribución, distinta de las anteriores, que también tenga la misma media. Comprueba el resultado con la aplicación. Aparte de la media aritmética, ¿qué tienen en común todas las distribuciones anteriores? (Una pista: ¿cuánto suman los datos de todas ellas?).
4. Escribe ahora una distribución cuya media sea 6,5. Comprueba el resultado con la aplicación ¿Cuál es el valor de la mediana?
5. Mueve los puntos hasta que obtengas una distribución de media aritmética 5,3 y mediana 6. ¿Puedes conseguir más de una solución?
6. Escribe una distribución de 5 valores, cuya media aritmética sea 6 y cuya mediana sea 5. Comprueba el resultado con la aplicación.
7. Mueve ahora los puntos para que la media de la distribución sea igual a la mediana. ¿Puedes encontrar más de una solución para una misma media y mediana? ¿Qué tiene que ocurrir para que la media aritmética sea igual a la mediana?
8. Los exámenes de matemáticas se valoran entre 0 y 10 puntos. Andrés ha obtenido en los cuatro primeros exámenes las siguientes calificaciones: 3,5, 5, 3 y 4,5. Tiene que hacer ahora el quinto examen. Para obtener una calificación positiva en los exámenes, la nota media de los cinco exámenes debe ser de al menos 5 puntos. ¿Qué nota tiene que sacar en el quinto examen para lograrlo?
9. Andrés, tras el quinto examen, obtuvo una puntuación total de 23 puntos. ¿Qué nota sacó en el quinto examen? ¿Le alcanzó la media para obtener calificación positiva en los exámenes?
10. La nota máxima de su compañera Isabel en los cinco exámenes fue de 9,5 puntos y su nota mediana fue de 6,5 puntos. ¿Con esos datos nos basta para saber si obtuvo calificación positiva en los exámenes (recuerda que para ello la media aritmética debe ser como mínimo de 5 puntos)?

¿ Qué son las figuras planas?

Cualquier línea poligonal, curva o mixta cerrada y su interior se consideran una figura plana. Pero su concepto es mucho más amplio, ya que cualquier forma en dos dimensiones es una figura plana. Ahí incluimos cualquier dibujo o cualquier cara de un cuerpo geométrico (de tres dimensiones). Incluso, una figura plana puede estar en distintos planos. Por ejemplo, imagina que un folio es un rectángulo (una figura plana). Si lo curvas, seguirá siendo un rectángulo, pero en distintos planos. Parecerá que tiene 3 dimensiones, pero en realidad tiene dos, aunque en distintos planos. La diferencia con un cuerpo geométrico es que no tiene altura o fondo, solo tiene ancho y largo.

TIPOS DE FIGURAS PLANAS Podemos agrupar todas las formas, dibujos y figuras planas en dos grandes tipos: POLÍGONOS y FIGURAS CURVAS

¿Cuáles son las figuras geométricas planas? ¿Qué características tienen? 

Las principales figuras geométricas planas son:

El círculo

El círculo es una figura que se realiza trazando una curva que está siempre a la misma distancia de un punto que llamamos centro. La línea que bordea al círculo se llama circunferencia.

El triángulo

El triángulo es una figura que está formada por 3 rectas que se llaman lados. Hay diferentes maneras de clasificar a los triángulos, según sus lados o sus ángulos.

• Según sus ángulos:

1. Rectángulo: tiene un ángulo recto, es decir, mide 90º
2. Acutángulo: tiene 3 ángulos agudos, es decir, miden menos de 90 º
3. Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso, es decir, mide más de 90º

• Según sus lados:

1. Equilátero: los 3 lados miden igual
2. Isósceles: tiene 2 lados que miden igual y otro desigual
3. Escaleno: no tiene ningún lado igual

El rectángulo

El rectángulo es una figura formada por 4 rectas llamadas lados. Las características de los rectángulos son que sus lados opuestos son paralelos y sus 4 ángulos miden 90º.

El cuadrado

El cuadrado es un tipo de rectángulo. Tienen las mismas características pero además los 4 lados del cuadrado miden igual.

El rombo

El rombo es una figura formada por 4 rectas. Sus lados opuestos son paralelos y los 4 miden igual pero a diferencia del cuadrado, no tiene ningún ángulo recto.

El trapecio

El trapecio es una figura formada por 4 rectas. Tiene dos lados paralelos pero los otros 2 no lo son.

CALCULO DE FIGURAS 

EJERCICIOS

ÁREAS DEL CUADRILÁTERO

 

PROPORCIONALIDAD Y REGLA DE TRES

  

Algunas situaciones problemáticas, con dos categorías que cambian, tienen proporcionalidad. Entonces se pueden resolver con “Regla de Tres”.

¿QUÉ ES LA PROPORCIONALIDAD? 

Proporcionalidad directa: 

Cuando las dos categorías que cambian lo hacen en la MISMA PROPORCIÓN; es decir, las dos aumentan o disminuyen por la misma cantidad.

Ejemplos:

a) Si 10 kilos de carne cuestan $ 80, el doble de la misma carne (20 kilos) costará el doble del precio ($ 160); y la mitad de la misma carne (5 kilos) costará la mitad del precio ($ 40).

b) Si tengo 4/6 de una cantidad, puedo decir que tengo 12/18 de la misma cantidad (el triple del numerador y del denominador) o que tengo 2/3 de la misma cantidad (la mitad del numerador y del denominador), porque son expresiones equivalentes.

REGLA DE TRES DIRECTA:

Seguramente recordarán que para verificar si dos fracciones son equivalentes, podemos realizar “producto cruzado” (multiplicando al numerador de cada fracción por el denominador de la otra fracción). Usando esta estrategia de “producto cruzado” se puede realizar la “regla de tres directa”.

Primero debo escribir el planteo del problema y verificar que las dos categorías aumenten (+) o que las dos categorías disminuyan (─). Es IMPORTANTE poner cada categoría en su columna:

 

        Kilos            Dinero                                         Dinero              Kilos

          10               $ 80                                              $ 80                  10

  (+)                               (+)                                (─)                                    (─)

          20               $ x                                                $ x                     5

 

Para averiguar el valor de “x”, multiplico cruzado y después divido.

Entonces, en el primer ejemplo, “x” = 20 x 80 : 10 = 1600 : 10 = 160

 

Y en el segundo ejemplo, “x” = 80 x 5 : 10 = 400 : 10 = 40

 El porcentaje tiene proporcionalidad directa:

 

 

Ejemplos:

Para calcular el 40% de 60    y    el 120% de 80:

 

      Porcentaje       Cantidad                             Porcentaje        Cantidad

          100%               60                                         100%                80

 (─)                                   (─)                           (+)                                   (+)

            40%                x                                          120%                 x

 

Entonces, el 40% de 60 es: 40 x 60 : 100 = 24

 

Y el 120% de 80 es: 120 x 80 : 100 = 96

 

Proporcionalidad inversa: 

Cuando las dos categorías que cambian lo hacen con PROPORCIÓN, pero INVERSA; es decir, una aumenta y la otra disminuye por la misma cantidad.

Ejemplo:

Si 10 personas tardan 6 horas en construir una pared, el doble de las personas (20) tardarán la mitad del tiempo (3 horas) en construir la misma pared; y la mitad de las personas (5) tardarán el doble del tiempo (12 horas). 

Hay una proporcionalidad, pero inversa: “doble / mitad”, “triple / tercio”, “cuádruple/cuarta parte”.

 

REGLA DE TRES INVERSA:

 

Primero debo escribir el planteo y verificar que una categoría aumente (+) y que la otra categoría disminuya (─). Es IMPORTANTE poner cada categoría en su columna:

 

     Personas       Tiempo                                    Personas         Tiempo

          10               6 hs.                                            10                  6 hs.

 (+)                                   (─)                             (─)                                (+)

          20               x hs.                                             5                   x hs.

 

Para averiguar el valor de “x”, multiplico derecho y después divido.

 

Entonces, en el primer ejemplo, “x” = 10 x 6 : 20 = 60 : 20 = 3

 

Y en el segundo ejemplo, “x” = 10 x 6 : 5 = 60 : 5 = 12   

Fracciones

La fracción se utiliza para representar las partes que se toman de un objeto que ha sido dividido en partes iguales.

Por ejemplo, dividimos una pizza en 8 partes iguales y cogemos tres. Esto se representa por la siguiente fracción:

¿Qué es una fracción?

Una fracción representa el número de partes que cogemos de una unidad que está dividida en partes iguales. Se representa por dos números separados por una línea de fracción.

Términos de una fracción

Los términos de una fracción son el numerador y el denominador. El numerador es el número de partes que tenemos y el denominador es el número de partes en que hemos dividido la unidad.

Vamos a ver un ejemplo: Tenemos diferentes figuras y cada una de ellas la dividimos en diferentes partes iguales, que es el denominador. La parte coloreada es el numerador.

¿Cómo se leen las fracciones?

El numerador se lee con los números cardenales. 1 – un, 2 – dos, 3 – tres, …, 10 – diez, …, 24 – veinticuatro…

El denominador se lee con los números partitivos. 2 – medios, 3 – tercios, 4 – cuartos, 5 – quintos, 6 – sextos, 7 – séptimos, 8 – octavos, 9 – novenos, 10 – décimos. A partir del 11, el número se lee terminado en -avos: 11 – onceavos, 12 – doceavos, …

Tipos de fracciones

• Fracción propia: Cuando el numerador es menor que el denominador.
• Fracción impropia: Cuando el numerador es mayor que el denominador.
• Fracción unitaria: Cuando el numerador es igual que el denominador.

Suma y resta de fracciones con igual denominador

Este es el caso más sencillo. Cuando nos encontramos con fracciones con igual denominador, la operación solo se hace en los numeradores. Es decir, para sumar o restar fracciones se mantiene constante el denominador y se suman o restan sus numeradores.

a) Veamos algunos problemas de suma y resta de fracciones con denominador común:

¿Cómo hacer sumas de fracciones con igual denominador? En este caso, sumamos sus numeradores y mantenemos el denominador:

b) Veamos otro ejemplo:

Ahora, al tratarse de una resta, tenemos que restar sus numeradores y mantener el denominador:

Suma y resta de fracciones con diferente denominador

¿Cómo sumar y restar fracciones con diferente denominador?

Lo primero que hay que hacer es buscar un denominador común a todas ellas. Luego sustituir las fracciones originales por fracciones equivalentes con este denominador común.

Pero, ¿cómo se calcula este denominador común?

Una manera sencilla de calcularlo es multiplicar todos los denominadores. El resultado de esta operación es el denominador común.

Hay una forma más correcta de calcularlo a través del mínimo común múltiplo.

Así que una vez obtenido el denominador común hay que calcular las fracciones equivalentes. Para cada fracción haremos lo siguiente.

• Sustituimos su denominador por el denominador común.
• Calculamos su numerador de la siguiente manera: dividimos el denominador común por el denominador original de cada fracción. El resultado obtenido lo multiplicamos por el numerador original, obteniendo el numerador de la fracción equivalente.

Tranquilo, es más fácil de lo parece. Lo entenderás perfectamente con este ejemplo:

Vamos a hacerlo paso a paso:

1.- Primero calculamos el denominador común: 4 x 3 x 5 = 60

Ahora vamos a calcular el numerador equivalente de cada fracción:

Primera fracción:

Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 : 4 =15

Multiplicamos este resultado por su numerador: 15 x 2 = 30

Segunda fracción:

Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 : 3 = 20

Multiplicamos este resultado por su numerador: 20 x 6 = 120

Tercera fracción:

Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 : 5 =12

Multiplicamos este resultado por su numerador: 12 x 3 = 36

Ya podemos sustituir las fracciones originales por sus fracciones equivalentes:

Para terminar, procedemos a la suma:

Multiplicación de fracciones 

Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y se multiplican los denominadores entre si. Luego si es necesario se simplifica la fracción resultante.

Ejemplo:

Don José dejó 3/5 de la pared para pintar con colores cálidos. Si pintará de color café 2/3 de lo destinado a los colores cálidos, ¿qué parte de la pared será de color café?

Si representamos gráficamente la información tenemos:

Problema : En una tienda hay 80 botellas de agua de 1/4 L cada una. ¿Cuántos litros de agua hay en total?

División de fraccionarios 

Método 1 de división de fracciones: Multiplicar en cruz

Este método consiste en multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el resultado escribirlo en el numerador de la fracción resultante.

Por otro lado, multiplicamos el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda y el resultado lo escribimos en el denominador de la fracción resultante.

Por último se simplifica la fracción final.

Por ejemplo

Método 2 de división de fracciones: Invertir y multiplicar

1. Invertir la segunda fracción, es decir, cambiar el numerador por el denominador y viceversa.
2. Simplificar cualquier numerador con cualquier denominador.
3. Multiplicar en línea.